1  Zum Begriff ,,Topologie''

Die Topologie ist heute eine mathematische Grundlagendisziplin, welche nur noch wenig mit dem zu tun hat, was im Rahmen der Grundschulmathematik unter demselben Namen betrieben wird. Entstanden ist die Topologie - trotz einiger signifikanter Beiträge des 18. Jahrhunderts - im wesentlichen im 19. Jahrhundert durch das Bestreben, Eigenschaften geometrischer Konfigurationen zu untersuchen, die von relativ allgemeinen Veränderungen unabhängig sind.
Ein Beispiel: Vorgegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen, die sich in einem Punkt schneiden. Stellen wir uns vor, daß der Kreis aus Gummi gefertigt ist, und daß dieser Gummi irgendwie verzerrt (aber nicht durchschnitten oder gefaltet) wird. Es entsteht dann eine andere Figur, die ggf. mit einem Kreis nicht mehr viel Ähnlichkeit aufweist (u.U. sogar Ecken hat!). Punkte A, B, C, D ... der ursprünglichen Figur ,,wandern'' dann durch die Verzerrung auf Bildpunkte A', B', C', D' ... in der verzerrten Figur. Die Zuordnung zwischen diesen Ur- und Bildpunkten ist dann eine 1:1-Zuordnung oder genauer eine ,,topologische Abbildung''.

An diesem Beispiel sehen wir, daß metrische Eigenschaften (wie Streckenlängen, Winkelgrößen, Krümmungen) bei einer solchen topologischen Abbildung in der Regel völlig verändert werden, bestimmte Lagebeziehungen aber erhalten bleiben. So wird ein Randpunkt (z.B. A, B) wieder auf einen Randpunkt (A', B') abgebildet. Schnittpunkte zweier Linien (z.B. C) werden wieder auf Schnittpunkte (C') abgebildet. Innenpunkte (und ebenso Außenpunkte) (z.B. D) werden wieder auf Innen- bzw. Außenpunkte (D') abgebildet. Schließlich wird aus einem geschlossenen Linienzug bei einer topologischen Abbildung wieder ein geschlossener Linienzug.

Allgemein untersucht die Topologie Eigenschaften von Punktmengen, die bei einer sogen. ,,topologischen Abbildung'' invariant bleiben. Anschaulich kann man sich topologische Abbildungen als Verzerrungen vorstellen, der Systematik halber gehören aber auch Spiegelungen zu den topologischen Abbildungen. Aus obigem Beispiel folgt nun, daß Begriffe, wie ,,auf dem Rand'', ,,innen'', ,,außen'', ,,sich schneidend'', ,,geschlossen'' topologische Grundbegriffe sind.

Begriffe, wie ,,eckig'' oder ,,rund'' dagegen sind keine topologischen Grundbegriffe, wie nachstehendes Beispiel zeigt.

Ebensowenig sind strenggenommen Begriffe, wie ,,links'', ,,rechts'', ,,oben'', ,,unten'' topologische Begriffe, da sie ja bei Achsenspiegelungen (die zu den topologischen Abbildungen gehören) nicht invariant bleiben. In der Grundschule werden diese Begriffe allerdings (eigentlich fälschlicherweise) mit zu den topologischen Grundbegriffen gezählt.

2  Unikursale Netze

Der Beginn der Topologie wird gerne in Verbindung gebracht mit dem etwas weiter unten diskutierten ,,Eulerschen Brückenproblem'', einem typischen Problem, in dem es um Eigenschaften von Netzen geht. Ein Netz ist dabei ein Gebilde aus einfachen Linienzügen, die fachterminologisch ,,Kanten'' genannt werden, und ihren jeweiligen Anfangs- bzw. Endpunkten, die ,,Knoten'' heißen. Denken Sie etwa an ein Einkaufsnetz (die Kanten sind die Schnurstücke, die Knoten sind die Schnurknoten), ein Straßennetz (die Kanten sind die Straßen, die Knoten die Straßenkreuzungen), ein Stromnetz (die Kanten sind die Leitungen, die Knoten sind Generatoren oder Verbraucher).

Eine interessante Eigenschaft solcher Netze ist, ob sie ,,unikursal'' sind, das heißt, ob sie in einem Zug so durchlaufen werden können, daß jede Kante dabei genau einmal berührt wird. Das berühmteste unikursale Netz ist das ,,Haus des Nikolaus''. Beim Haus des Nikolaus sind Anfangs- und Endpunkt des unikursalen Durchlaufs verschieden.

Ein weiteres, recht bekanntes unikursales Netz ist der Sechsstern. Für den Sechsstern sind Anfangs- und Endpunkt beim unikursalen Rundlauf identisch.

Versuchen Sie nun selbst das Haus des Nikolaus zu erzeugen. Mit gedrückter linker Maustaste können Sie nach Anklicken des Buttons beliebige Bahnen zeichnen. Zum Löschen betätigen Sie die ESC-Taste. Eine Aufgabe für Ausdauernde: Wieviele verschiedene unikursale Erzeugungsmöglichkeiten gibt es für das Haus des Nikolaus? (Es ergeben sich interessante weitere Varianten, wenn man den Kreuzungspunkt der beiden Diagonalen ebenfalls als Knoten betrachtet).

Versuchen Sie nun dasselbe für den Sechsstern!

Dagegen kann man das folgende Haus nicht unikursal zeichnen. Probiern Sie's aus!

Kommen wir nun zum berühmten Eulerschen Brückenproblem:
Leonhard Euler (1707--1783) war der bedeutendste Mathematiker des 18. Jahrhunderts, die Basis des natürlichen Logarithmus e ist nach ihm benannt. Er wurde in Basel geboren, wirkte aber hauptsächlich an den Akademien in St. Petersburg, dann in Berlin, und schließlich wieder in St. Petersburg, wo man heute im Telefonbuch einige "Eulers" finden kann. Das Königsberger Brückenproblem von 1737 entstammt aus seiner ersten Peterburger Phase.

Die folgend abgebildete Landkarte stellt die Innenstadt von Königsberg um 1920 dar. Die Brücken über den Fluß "Pregel" sind mit 1 bis 8 numeriert.

Abbildung aus: Lietzmann, W., Lustiges und Merkwürdiges, S. 251

Dabei ist zu berücksichtigen, daß die Brücken 1 bis 7 bereits im 18. Jahrhundert existierten, während die Nummer 8 eine "moderene" Eisenbahnbrücke ist. Angeblich hat der Magistrat von Königsberg im Jahre 1737 nichts anderes zu tun gehabt als sich mit der "unlösbaren" Frage an den Mathematiker Euler zu wenden, ob ein Spaziergang durch Königsberg so möglich sei, daß dabei jede der sieben Brücken genau einmal überschritten würde ("über sieben Brücken mußt du gehn...."). Ob nun die Geschichte stimmt oder nicht, jedenfalls hat Euler 1737 vor der Petersburger Akademie die Unmöglichkeit eines solchen unikursalen Rundgangs bewiesen und sogar allgemein ein Kriterium für unikursale Netze aufgestellt. Eulers Beweisidee ist dabei leicht nachzuvollziehen.

Betrachten wir zum Einstieg einmal ein besonders einfaches Netz mit zwei Kanten und zwei Knoten.

Man sieht natürlich sofort ein, daß dies ein unikursales Netz ist. Zu jedem Knoten gehören zwei Kanten, auf einer Kante kann der Knoten verlassen und auf der anderen Kante wieder erreicht werden. Sowohl der Knoten A als auch der Knoten B eignen sich als Anfangs- und Endpunkt eines unikursalen Rundlaufs. Das nächst einfachere Netz ist

Zu jedem der beiden Knoten gehören nun 3 Kanten. Der Knoten A beispielsweise kann auf einer Kante verlassen, auf einer zweiten wieder angesteuert, und auf einer dritten wieder verlassen werden. In diesem Falle wird der Knoten B auf der ersten Kante angesteuert, auf der zweiten verlassen, und auf der dritten wieder angesteuert. A ist dann Anfangs- B ist dann Endpunkt eines unikursalen Rundgangs. Ausgehend von diesen beiden "Mutterkonfigurationen" läßt sich folgender Satz beweisen:

Ein Netz ist unikursal mit identischem Anfangs- und Endknoten, dann und nur dann, wenn zu jedem Knoten eine gerade Anzahl von Kanten gehört. Jeder der Knoten eignet sich dann als Anfangs- und Endpunkt.
Ein Netz ist unikursal mit verschiedenen Anfangs- und Endknoten, dann und nur dann, wenn zu zwei Knoten eine ungeradzahlige Anzahl von Kanten, zu allen restlichen Knoten aber eine gerade Anzahl von Knoten gehört. Die Knoten mit der ungeraden Anzahl von Kanten sind dann Anfangs- bzw. Endknoten.

Die Anzahl der zu einem Knoten hin- bzw. wegführenden Kanten heißt auch Ordnung dieses Knotens. Wir stellen fest, daß beim Haus des Nikolaus genau zwei Knoten die Ordnung 3 haben, die restlichen die Ordnung 4 (bzw. 2) (also unikursal mit verschiedenen Anfangs- bzw. Endknoten), beim Sechsstern alle Knoten die Ordnung 4 haben (alle unikursal mit identischen Anfangs- bzw. Endknoten), schließlich stellen wir fest, daß das zweite Haus mehr als zwei Knoten der Ordnung 3 hat, mithin ("dann und nur dann, wenn") nicht unikursal sein kann.

Kommen wir zum Königsberger Brückenproblem zurück. Euler löste das Problem dadurch, daß er die verschiedenen Stadtteile von Königsberg -- aus moderner Sicht -- als Knoten und die Brücken als Kanten eines Netzes interpretierte. Verzerrt man die Stadtkarte von Königsberg in geeigneter Weise, dann ergibt sich folgende, topologisch äquivalente Konfiguration:

Die ganz links gestrichelt eingezeichnete Kante entspricht der Eisenbahnbrücke. Ohne die Eisenbahnbrücke haben drei Knoten die Ordnung 3 und ein Knoten die Ordnung 5, es war also 1737 tatsächlich kein unikursaler Rundgang möglich. Mit Eisenbahnbrücke dagegen haben zwei Knoten die Ordnung 4, einer die Ordnung 3 und einer die Ordnung 5, womit ein unikursaler Rundgang mit verschiedenen Anfangs- und Enpunkten möglich würde.

Was hat nun das Ganze mit Topologie zu tun? Wenn man ein Wegenetz durch eine topologische Abbildung verzerrt, so bleibt es unikursal (bzw. nicht unikursal). Die Unikursalität ist also eine bei topologischen Abbildungen invariante Eigenschaft.

3. Nachbarschaftsprobleme

(die folgende Darstellung orientiert sich stark an: Tietze, H., Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit, Bd. 1., vierte Vorlesung, S. 69--94, dtv)

So wie das Problem der unikursalen Netze ursprünglich der Unterhaltungsmathematik entstammt, so gilt das auch für den Problemkomplex der Nachbargebiete. Von dem Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790--1868) stammt folgendes "Fünf-Brüder-Problem": Im fernen Osten hatte ein Fürst fünf Söhne, die sein Reich erben sollten. Der Fürst verfügte in seinem Testament, daß das Reich so aufzuteilen sei, daß von der Hauptstadt jedes Teilreiches Verbindungsstraßen zu den Hauptstädten der anderen Teilreiche gebaut werden könnten, die sich nicht gegenseitig überkreuzten.

Man kann nun zuallererst feststellen, daß die Bedingung der kreuzungsfreien Verbindungswege äquivalent dazu ist, daß nach der Aufteilung jeweils zwei benachbarte Teilreiche eine gemeinsame Grenzlinie haben.
Wenn nämlich die Bedingung der gemeinsamen Grenzlinie besteht, so braucht der Verbindungsweg nur so angelegt sein, daß er diese Grenzlinie schneidet, und dann muß er keinen der anderen, auf diese Weise angelegten Verbindungswege schneiden.
Nehmen wir nun an, daß kreuzungsfreie Verbindungswege zwischen gegebenen Punkten (entsprechend den Hauptstädten) existieren. Dann kann die Gebietseinteilung so vorgenommen werden, daß die jeweiligen Verbindungswege von den gemeinsamen Grenzlinien geschnitten werden.

Bei dem Fünf-Brüder-Problem kommt es nicht auf die spezielle geometrische Gestalt der Grenzlinien und der Wege an. Wenn die Teilungsbedingung des Fürsten erfüllt wäre, so wären sie auch für alle anderen Reiche erfüllt, die durch topologische Abbildungen aus dem des Fürsten hervorgingen. Und wenn die Teilungsbedingung in einem speziellen Reich unmöglich wäre, so wäre sie auch in allen dazu topologisch äquivalenten Reichen unmöglich.

Wir zeigen nun, daß die Teilungsbedingung bei 5 Brüdern tatsächlich unmöglich ist. Nach den obigen Feststellungen genügt es hierfür zu zeigen, daß bei 5 verschiedenen Punkten nicht jeder mit jedem kreuzungsfrei verbunden werden kann.
Beginnen wir mit vier verschiedenen Punkten. Drei davon (A, B, C) können durch die Seiten eines Dreiecks paarweise und kreuzungsfrei miteinander verbunden werden. Ein vierter Punkt liegt nun entweder im Inneren (Fall1) oder im Äußeren des Dreiecks (Fall2) oder auf einer der drei Seiten (Fall3). Wir sehen, daß in jedem dieser Fälle jeder Punkt mit jedem anderen kreuzungsfrei verbunden werden kann.

Wir können jedoch sogar die topologische Äquivalenz der drei Fälle feststellen. In allen drei Fällen haben wir es ja mit Graphen zu tun, und die topologischen Eigenschaften dieser Graphen bleiben erhalten, wenn man sie "gummiartigen" Verformungen unterwirft. "Zerren" Sie als erstes im Fall 2 an dem Punkt C und führen Sie diesen in den Punkt C' über. Begradigen Sie anschließend die Verbindung zwischen A und D (indem Sie den Kreisbogen durch eine Strecke ersetzen). "Zerren" Sie nun im Fall 3 an dem Punkt D und führen Sie ihn in den Punkt D' über. Begradigen Sie dann die Verbindung zwischen A und C. Wir sehen, daß die "neuen" Graphen in Fall 2 und in Fall 3 identisch zu dem Graphen in Fall 1 sind, wenn man die speziellen Benennungen der Punkte außer Acht läßt. Wir können also im folgenden so tun als hätten wir es nur mit dem Fall 1 zu tun.

Wenn nun bei Fall1 ein fünfter, von den vier anderen verschiedener, Punkt hinzukommt, so liegt dieser entweder auf einer der Dreiecksseiten oder im Inneren eines der Dreiecke oder außerhalb des "großen" Dreiecks. Wir stellen fest, daß in keinem dieser Fälle mehr die Bedingung der wechselseitigen, kreuzungsfreien Verbindungen aufrecht erhalten werden kann.

Im Falle 1 müßten, um die Bedingung der kreuzungsfreien Verbindungen herzustellen, die Punkte A und C direkt so miteinander verbunden werden, daß der hinzugekommene "runde" Punkt nicht auf der Verbindungsstrecke liegt. Es entstünde dann eine Situation, die topologisch zu Fall 2 bzw. Fall 3 äquivalent wäre. In Fall 2 kann der "runde" Punkt aber nicht kreuzungsfrei mit B, im Fall 3 kann er nicht kreuzungsfrei mit D verbunden werden.

Die technischen Konsequenzen des Fünf-Brüder-Problems, beispielsweise für die Auslegung von Leiterplatten (bereits bei 5 Lötpunkten kann nicht mehr jeder mit jedem kreuzungsfrei verbunden werden), liegen sofort auf der Hand. Vom Standpunkt der reinen Mathematik aus wichtiger ist die Tatsache, daß das Fünf-Brüder-Problem Ausgangspunkt für mancherlei weitreichende Fragestellungen sein kann.
1.) Allgemeine Kriterien für kreuzungsfreie Netze: Hier gibt es den Satz von Kuratowski (1930), aus dem auch die Unmöglichkeit des Fünf-Brüder-Problems resultiert, oder auch die Unmöglichkeit des "Drei Brunnen- drei Häuser-Problems": Es ist unmöglich, jeden der drei Punkte A, B, C (die "Häuser") mit jedem der drei Punkte P, Q, R (die "Brunnen") kreuzungsfrei zu verbinden. Wer's nicht glaubt, der kann's gleich ausprobieren.

2.) Maximalzahl von paarweise aneinandergrenzenden Nachbargebieten auf Flächenformen: Angenommen, das Reich des Fürsten bestünde aus der gesamten Erdkugel. Dann könnte es ebenfalls nur auf  4 Teilreiche gemäß der Bedingung paarweiser Nachbarschaft aufgeteilt werden. Bei geschlossenen Flächen mit "Löchern" dagegen wächst die maximale Anzahl von Nachbargebieten. So kann beispielsweise die Oberfläche eines Torus in maximal 7 Nachbargebiete aufgeteilt werden (zur besseren Veranschaulichung ist der Torus an einer Stelle senkrecht zu seiner Achse aufgeschnitten).

Aus: Tietze, H., Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Bd. 1, Tafel V

3.) Zu den Nachbarschaftsproblemen gehören auch die Färbeprobleme: Wieviele verschiedene Farben benötigt man, um Nachbargebiete verschieden einfärben zu können? In der Ebene sind das mindestens vier Farben, wie folgendes Bild deutlich macht.

Das Problem, mit wie vielen Farben man auskäme, um eine Landkarte so einzufärben, daß je zwei Länder mit einer gemeinsamen Grenzlinie auseinanderzuhalten zu seien, wurde in Großbritannien ab ca. 1850 lebhaft diskutiert. Es wurde vermutet, daß nicht nur mindestens vier Farben, sondern auch höchstens vier Farben ausreichend seien. Es entstand das sogenannte "Vier-Farben-Problem". Die ersten größeren, mathematischen Arbeiten wurden von Peter Guthrie Tait und Alfred B. Kempe um 1880 veröffentlicht. Einen wirklich stichhaltigen Beweis dafür, daß die Vermutungen über die maximal 4 Farben zutreffen, konnten erst im Jahre 1976 die Mathematiker Wolfgang Haken und Ken Appel geben. Es gelang ihnen, das Problem auf insgesamt 1936 Konfigurationen zurückzuführen, die dann auf Einfärbbarkeit durch 4 Farben mit Computerhilfe untersucht werden konnten. Mittlerweile konnte die Anzahl der zu untersuchenden Fälle drastisch reduziert werden (auf 623), auf Computerhilfe bei den "mechanischen" Teilen des Beweises ist man aber nach wie vor angewiesen. Das heißt aber nicht, daß der Beweis des 4-Farben-Satzes durch einen Computer erstellt worden ist!!