Aussagen, Mengen, Relationen und Abbildungen

1. Aussagen

1.1 Was sind Aussagen?

Nicht jeder sinnvolle Satz ist eine Aussage.
Beispiele:
Guten Appetit! (Kein Aussagegehalt.)
Franz Josef Strauß war ein toller Politiker. (Nicht unstrittig entscheidbar.)
2 ist eine natürliche Zahl. (Wahre Aussage.)
4 ist eine Primzahl. (Falsche Aussage.)
Festlegung: Eine (mathematische) Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem unstrittig entschieden werden kann, ob es wahr oder falsch ist.

1.2 Elementare Operationen mit Aussagen

AÙB
bedeutet: A ist mit B durch ,,und'' verknüpft. Es gilt sowohl die Aussage A als auch B.
Beispiel: A: ,,Otto ist Student der KUE.'' B: ,,Otto besucht die Vorlesung MGS I''. AÙB: Otto ist Student der KUE und besucht die Vorlesung MGS I.
AÙB ist nur dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahre Aussagen sind.
Wahrheitstafel:
A Ù B
w
f
f
f

 
AÚB
bedeutet: A ist mit B durch ein logisches ,,oder'' verknüpft: Otto erfüllt mindestens eine der beiden Bedingungen. AÚB ist schon dann wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A oder B wahr ist. Ú ist kein ausschließendes ,,oder''.
Wahrheitstafel:
A Ú B
w
w

 
AÞB
bedeutet ,,A impliziert B'' und ist durch folgende Wahrheitstafel festgelegt:
A Þ B
w
w

Die ,,Verknüpfung'' zweier Aussagen A und B durch A Þ B ist allgemeiner als die Feststellung, daß sich aus einer Aussage A die Aussage B beweisen läßt. Letzteres ist nur sinnvoll, wenn die Aussage A wahr ist.
 

AÛ B
bedeutet ,,A ist äquivalent zu B'' oder ,,A gilt genau, wenn B gilt'' und ist durch folgende Wahrheitstafel festgelegt:
A Û B
w
f

Man kann leicht zeigen, dass die Aussage A Û B und die Aussage
(A Þ B) Ù (B Þ A) zu denselben Belegungen der Wahrheitstafel führen und daher gleichbedeutend sind.
 

ØA
bedeutet: ,,nicht A'', die Verneinung der Aussage A. (Otto ist nicht Student der KUE.)
Wahrheitstafel:
Ø

1.3 Verneinungsregeln:

1. Ø(ØA) = A
2. Ø(AÙB) = Ø A Ú Ø B
3. Ø(AÚB) = ØA Ù ØB
4. (AÞB) = (ØB ÞØA)
Beispiel zu 4.): A: ,,Es regnet heftig''. Daraus folgt B: ,,Die Straße ist nass''. Die Umkehrung B Þ A muss nicht unbedingt wahr sein, aber wenn die Straße nicht nass ist, dann kann es auch nicht regnen, also Ø B ÞØA.

2. Mengen

Der Mengenbegriff lässt sich nicht in eine klare Definition fassen. Man kann aber als Arbeitsgrundlage festlegen:
Eine Menge ist eine (ungeordnete) Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten.
(Es gibt aber auch leere Mengen.) Die Objekte heissen Elemente der Menge. Für jedes Element x und jede Menge A gilt: x Î A oder x ist nicht Î A.

2.1 Grundregeln über Mengen

Aufzählende Mengenangabe:

Aufzählen der Elemente bei endlichen Mengen.
Bsp.: A = {4,1,3,5,2,8,6,7}.
Merke: Bei Mengen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente an, aber jedes Element darf nur einmal vorkommen. (Die Objekte müssen verschieden sein.) {1,1,2} ist daher strenggenommen keine Menge.

Beschreibende Mengenangabe:

Angabe von Bedingungen.
Bsp.: B = {x | x ist eine natürliche Zahl Ù x £ 8}.
Hier gilt: A = B (A gemäß vorigem Beispiel).

Gleichheit von Mengen

A = B genau dann, wenn
1. Für jedes x Î A gilt: x Î B
und
2. Für jedes x Î B gilt: x Î A.

Die Mächtigkeit einer Menge

Die Mächtigkeit |A| einer Menge A ist die Anzahl ihrer Elemente.
Bsp.: A = {1,2,3,7} Þ |A| = 4.

2.2 Teilmengen

Bezeichnung: A Ì B. Das bedeutet: Jedes x aus A ist auch Element von B. Extremfälle der Teilmengenbeziehung sind:
1. A = B Þ A Ì B ÙB Ì A
und
2. A = { } = Æ. Dann ist A Teilmenge jeder Menge B.

Die Potenzmenge einer Menge

Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.
Bsp.:    1. A = Æ; ÆÌÆ Þ ÆÌ A Þ P(A) = {Æ}.
            2. A = {1} Þ Æ Ì A; {1} Ì A Þ P(A) = {Æ;{1}}.
            3. A = {1,2}Þ P(A) = {Æ; {1}; {2};{1,2}}.
            4. A = {1,2,3}Þ P(A) = {Æ; {1}; {2}; {3}; {1,2};{1,3}; {2,3};{1,2,3}}.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge

Zu 1.: |P(A)| = 1 = 20.
Zu 2.: |P(A)| = 2 = 21.
Zu 3.: |P(A)| = 4 = 22.
Zu 4.: |P(A)| = 8 = 23.
Allgemein gilt: |P(A)| = 2|A|. (Damit sich diese Systematik ergibt, wird die leere Menge als Element der Potenzmenge benötigt.)

2.3 Wichtige Zahlenmengen

N: Menge der natürlichen Zahlen; d.h. positive ganze Zahlen ohne Null. N0: N zusammen mit der Null).
Z: Menge der ganzen Zahlen: {...-2, -1, 0, 1,2,...}.
Q: Menge der rationalen Zahlen, das sind ganze Zahlen und Brüche.
R: Menge der reellen Zahlen. Diese enthält alle rationalen Zahlen und zusätzlich die irrationalen Zahlen, wie Ö2, Ö3, p,...

2.4 Mengenbeschreibung durch Aussageformen

2 £ 8: wahre Aussage.
10 £ 8: falsche Aussage.
x £ 8: Aussageform mit Platzhalter.
Weist ein sprachliches Gebilde Platzhalter oder Leerstellen auf, sodass nach deren Ersetzung durch Elemente einer Menge G (,,Grundmenge'') eine Aussage entsteht, dann spricht man von einer Aussageform.
Sei A(x) eine Aussageform, so heißt {x Î G| A(x)} Erfüllungsmenge oder Lösungsmenge der Aussageform. {x Î G| A(x)} besteht aus allen Elementen von G, die man in die Aussageform einsetzen kann, sodass diese wahr wird.
Bsp.: G = R, {x | x2 = 4} = {-2, 2}.
Bei verschiedenen Grundmengen kann es verschiedene Lösungsmengen geben:
G = N, {x | x £ 8} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
G = R0+, {x | x £ 8} = [0;8].
Bei gleicher Grundmenge können zwei verschiedene Aussageformen die gleiche Lösungsmenge haben. Die Aussageformen heissen dann ,,äquivalent'':
G = R, A(x): 2x £ 4, L = ]-¥,2]
G = R, B(x): -4x ³ -8, L = ]-¥,2].
Die beschreibende Form der Mengenangabe benutzt die Aussageform.
Z.B. für die Menge aller Quadratzahlen: {x ÎN| Es gibt ein n ÎN: x = n2 }.
Oder für die Menge der Teiler von 16:
{x Î N| Es gibt ein n Î N: n·x = 16 } ={1,2,4,8,16} = : T16.
Oder für die Menge der Vielfachen von 3:
{x Î N|Es gibt ein n Î N:x = 3·n} = {3,6,9,12,15,...} = : V3.

2.5 Operationen mit Mengen

Alle Mengenoperationen lassen sich auf die Verknüpfungsregeln für Aussagen zurückführen.

Durchschnitt

AÇB = {x|x Î AÙx Î B} (Ç= ,,geschnitten'').

Vereinigung

AÈB = {x|x Î AÚx Î B} (È=,,vereinigt mit'').

Differenz

A\B={x Î A| x ist nicht Î B} ( \= ,,ohne'')

Komplement A` einer Menge A bzgl. einer Obermenge M

A Ì M; A` = M\A.

Rechenregeln für das Komplement mit A Ì M und B Ì M:
1. (AÈB)` = A`ÇB`.
2. (AÇB)` = A`ÈB`.
Beweis zu 1.:
x Î (AÈB)` Û  x ist nicht Î AÈB Û Ø(x Î AÈB) Û Ø(x Î A Ú x Î B) Û Ø(x Î A) ÙØ(x Î B) Û x ist nicht Î A Ù x ist nicht Î B Û x Î A`Ùx Î B` Û x Î A`ÇB`
Also gilt: x Î (AÈB)` Û x Î A`ÇB`, und damit ist auch (AÈB)` = A`ÇB`.

Beispielaufgaben:

1. Gegeben sind die Mengen A, B. Bestimmen Sie die Menge aller Elemente, die entweder in A oder in B liegen.
Lösung: x Î (AÇB`)È(A` ÇB)Û entweder x Î A oder x Î B.

2. Gegeben ist eine Menge A von Leuten, 70 % der Menge A kennen a, 50 % kennen b, 40 % kennen a und b, 30 % kennen b und c, 30 % kennen a und c, 20 % kennen a und b und c. (a,b,c sind z.B. Professoren.) Gesucht ist der Prozentsatz derer, die c kennen.
Lösung:

Wir bezeichnen mit den Buchstaben a, b, c auch die Menge derer, die a, b bzw. c kennen. Man sieht sofort, daß für die Mächtigkeiten der Mengen u, v, z bzw. y gilt:
|y| = 10 %,
|z| = 20 %,
|u| = 70 % - 30 % - 20 % = 20 %,
|v| = 50 % - 40 % - 10 % = 0 %.
Folglich ist |x| = 100 % - 10 % - 0 % - 20 % - 30 % - 20 % = 20 % und damit
|c| = 20 % + 10 % + 30 % = 60 %.

3. Zeichnen Sie die Punktmengen A, B, C, die die folgenden Bedingungen erfüllen:  AÇB ÇC = Æ, AÇB ¹Æ,
BÇC ¹Æ, AÇC ¹Æ.
Geben Sie Zahlenmengen möglichst kleiner Mächtigkeit an, die diese Bedingungen erfüllen.
Lösung:

Z.B. A = {1, 2}; B = {2, 3}; C = {3, 1}.

4. Beweisen Sie: P(AÇB) = P(A)ÇP(B).
Lösung: X sei eine Teilmenge von AÇB Û X Î P(AÇB)Û X Ì AÇBÛ X Ì AÙX Ì BÛ X Î P(A)ÙX Î P(B) Û X Î P(A)ÇP(B).

3. Paarmengen und Relationen

3.1 Cartesisches Produkt zweier Mengen

Das ,,Cartesische Produkt'' zweier Mengen ist die Menge aller Paare aus diesen Mengen.

A×B : = {(a,b) | a Î A Ù b Î B}.
(Das aus dem Gymnasium bekannte ,,Cartesische Koordinatensystem'' dient zur Darstellung von R×R. Das ist die Menge aller Paare (x,y), bei denen x Î R und y ÎR.)

Beispiel: Ein Mädchen hat 3 Blusen und 2 Röcke: B = {1, 2, 3}; R = {a, b}. Wie viele verschiedene Blusen-Rock-Kombinationen gibt es?
B×R = {(1,a); (2,a); (3,a); (1,b); (2,b); (3,b)}.
R×B wäre entsprechend: {(a,1); (b,1); (a,2);...}.
|B| = 3, |R| = 2. Man sieht am Beispiel: |B×R| = |B|·|R| = 6.
Betrachten wir nun allgemein M×N = {(a, b)| a Î M Ù b Î N}.
Zu jedem Element aus M gehören jeweils |N| Elemente aus N. Daraus folgt:
|M×N| = |M|·|N|.

3.2 Relationen

Eine Zuordnung von Gegenständen zu Merkmalen (oder umgekehrt) kann man als Paarbildung auffassen. Es besteht ein Verhältnis (eine Relation) zwischen der Menge der Gegenstände und der Menge der Merkmale.
Definition: Seien A, B Mengen. Dann wird jede Teilmenge R Ì A×B als Relation zwischen A und B bezeichnet. A heisst Quellmenge der Relation, B Zielmenge.
Es ist auch Æ Ì A×B. Damit ist Æ die ,,minimale'' Relation zwischen den Mengen A und B (selten relevant). A×B selbst ist dagegen die ,,maximale'' Relation zwischen A und B.

Darstellung von Relationen

Das Pfeildiagramm

(Im allgemeinen Falle nicht sehr übersichtlich, aber zur ,,Veranschaulichung'' der konkreten Zuordnung nützlich.) Die Elemente aus A werden mit Zuordnungspfeilen mit den zugehörigen Elementen aus B verbunden.

Wenn man die Pfeile umdreht, so erhält man die Umkehrrelation. Sei R Ì A ×B. Dann heisst R-1 = {(x,y) | (y,x) Î R} Umkehrrelation zu R.

Die graphische Darstellung

(Tabelle, die ,,Urform'' des Graphen.)

Die Reihe der Merkmale könnte man als ,,x-Achse'' bezeichnen, die der Gegenstände als ,,y-Achse''. Man setzt überall ein Kreuz, wo zu einem ,,x-Wert'' ein ,,y-Wert'' zugeordet werden kann. So entsteht eine Art ,,Graph''.

3.3 Ordnungsrelationen

Vorbemerkung: Ist die Quellmenge A einer Relation gleich der Zielmenge, so spricht man von einer ,,Relation in (von; auf) A''. Ordnungsrelationen und Äquivalenzrelationen in einer Menge A sind wichtige Typen von Relationen, bei denen die Quellmenge gleich der Zielmenge ist.

Einführendes Beispiel: die Teilerrelation

Eine natürliche Zahl a teilt per definitionem eine natürliche Zahl b (in Zeichen ,,a /b'') genau dann, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, sodass a ·n = b. Beispiel: 3 /15, denn 3·5 = 15 (n = 5).
T = {(a, b) Î N ×N| a/b} heißt Teilerrelation auf N.
T hat nun einige auch für andere Relationen typische Eigenschaften:
Für alle n Î N gilt: (n, n) Î T, denn n/ n (Reflexivität).
Für alle a, b Î N gilt: (a, b) Î T und (b, a) Î T ist nur dann möglich, wenn a = b (Antisymmetrie: 2/4, aber nicht 4/2).
Wenn (a, b) Î T und (b, c) Î T, dann folgt daraus: (a, c) Î T (Transitivität).
Bsp.: 4/ 8 und 8/ 24 Þ 4/ 24.
Zum Vergleich: Die Relation £ (Kleiner - gleich):
£ : = {(a, b) ÎN ×N|es gibt ein n ÎN0 mit a+n = b}. Auch £ ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Aber es gilt natürlich nicht £ = T. Bsp.: (2, 3) Σ aber (2, 3) ist nicht Î T.

Begriffe

Sei R Ì A ×A eine Relation in der Menge A. Statt (a,b) Î R ist es oft zweckmäßiger, die Schreibweise aRb zu verwenden.
Die Relation R heißt reflexiv, wenn für alle a Î A gilt: aRa.
Die Relation R heißt symmetrisch, wenn für alle a, b Î A gilt: aRb Þ bRa.
Die Relation R heißt antisymmetrisch, wenn für alle a, b Î A gilt: aRb und a ¹ b Þ (b, a) ist nicht Î R.
Die Relation R heißt transitiv, wenn für alle a, b, c Î A gilt: aRb und bRc Þ aRc.
Alle Relationen, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv sind, nennt man Ordnungsrelationen. Sie ordnen die Elemente in eine Hierarchie und geben an, welches jeweils das ,,obere'' und welches das ,,untere'' ist. Bei der Relation £ lässt sich jede Zahl a mit jeder Zahl b in Relation setzen, nicht jedoch bei T. £ ist eine totale Ordnung. Ebenso ist die Relation ³ (Größer-gleich) eine totale Ordnung.
Definition: Eine Ordnungsrelation heisst total, wenn sie eine Beziehung zwischen allen Elementen der Grundmenge herstellt: R Ì M×M total Û für alle x,y Î M: (x, y) Î R oder (y, x) Î R.
Sei R Ì M×M eine Ordnung. Dann heisst R ¹ : = R \{(x, x)| x Î M } die zugehörige strenge Ordnung.
< ist beispielsweise die zu £ gehörige strenge Ordnung.

Das Hasse-Diagramm

Ordnungsrelationen kann man mit einem sogenannten Hasse-Diagramm ,,veranschaulichen''. Dabei stehen die ,,linken Seiten'' der Paare weiter unten und die ,,rechten'' - durch einen vertikalen Strich mit den ,,linken'' verbunden - jeweils weiter oben. Daß für jedes aufgeführte Element gilt, dass es zu sich selbst in Relation steht, versteht sich dabei von selbst.
Die Ordnungsrelation {(1,1); (2,2); (3,3); (6,6); (1,2); (1,3); (1,6);(2;6); (3,6); (6,6)} = {(x,y) Î T6 ×T6| x/ y} (T6 sei die Menge aller Teiler von 6) besitzt das folgende Hasse-Diagramm:

Aufgaben

1.) Seien A, B endliche Mengen mit |A| = 5. Zwischen A und B gebe es 1024 verschiedene Relationen. Bestimme |B|.
2.) Geben Sie alle Relationen zwischen A = {a, b} und B = {1,2} in Mengenschreibweise an.
3.) Geben Sie alle totalen Ordnungen der Menge {a, b ,c} in aufzählender Form an.
4.) Erstellen Sie ein Hasse-Diagramm für die Teilerrelation in der Menge T24  (Menge aller Teiler von 24).

Lösungen:
1.) 1024 ist die Anzahl der Teilmengen von A ×B. Folglich ist 2|A| ·|B| = 1024 = 210. Es folgt sofort |B| = 2.
2.) Es gibt insgesamt 16 Relationen und zwar sind das die Teilmengen von
{(a,1); (a, 2); (b,1);(b,2)}.
3.) R1 = {(a,a); (b,b); (c,c); (a,b); (b,c); (a; c)}.
     R2 = {(a,a); (b,b); (c,c); (c, a);(a,b);(c,b)}.
     R3 = {(a,a); (b,b); (c,c); (b,c);(c,a);(b,a)}.
     R4 = {(a,a); (b,b); (c,c); (a,c);(c,b);(a,b)}.
     R5 = {(a,a); (b,b); (c,c); (b,a);(a,c);(b,c)}.
     R6 = {(a,a); (b,b); (c,c); (c,b);(b,a);(c,a)}.
4.

3.4 Äquivalenzrelationen

Allgemeine Eigenschaften

Eine Relation auf einer Menge A, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heisst Äquivalenzrelation. Sei R eine Äquivalenzrelation auf A und sei a Î A, dann heisst

[a] : = {x Î A |xRa}
die von a erzeugte Äquivalenzklasse. Jedes Element aus [a] heisst ,,Repräsentant'' der Äquivalenzklasse [a]. Es gilt [a] = [b] genau dann, wenn b Î [a] oder a Î [b].

Beispiele

1.) Sei A die Menge aller (abgeschlossenen) Strecken des Raums und sei die Relation R auf A definiert durch:
aRb genau dann, wenn a und b kongruent sind. Dann ist R eine Äquivalenzrelation. Die Menge aller Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation heisst ,,Größenbereich der Streckenlängen''.

2.) Sei A die Menge aller Geraden der Ebene. R sei definiert durch:

gRh genau dann, wenn g und h parallel.
Dann ist R eine Äquivalenzrelation. (Zwei Geraden der Ebene heissen parallel, wenn sie sich nicht schneiden oder identisch sind.)

3.) Die ,,Restgleichheit'' bei Division durch n: Sei n eine feste natürliche Zahl. Auf der Zahlenmenge Z (Menge der ganzen Zahlen) werde die Relation R durch

xRy genau dann, wenn es ein ganzzahliges z gibt mit x - y = nz

festgelegt. Sind x und y positive Zahlen, so bedeutet die letztere Bedingung nichts anderes als dass sich bei den beiden Divisionsaufgaben x:n und y:n jeweils der gleiche Rest ergibt.
(Sei nämlich x:n = a Rest r1 und y:n = b Rest r2. Dann ist x = an + r1 und y = bn + r2.
Es ist x - y = n(a-b) + r1 - r2. Wegen der Bedingung 0 £ r1, r2 £ n-1 ist x-y ein ganzzahliges Vielfaches von n dann und nur dann, wenn r1 - r2 = 0 ist.)
Dass die betrachtete Relation reflexiv und symmetrisch ist, ist sehr leicht einzusehen. Die Transitivität wird so begründet:
Sei aRb und bRc. Dann gibt es eine ganze Zahl z1, sodass a-b = nz1 und eine ganze Zahl z2, sodass b-c = nz2.
Es gilt also a-c = a-b+b-c = nz1 + nz2 = n(z1 + z2). a-c ist also ebenfalls ein ganzzahliges Vielfaches von n.
Die Äquivalenzklassen im Falle n = 5: In diesem Spezialfall gibt es insgesamt 5 ,,Restklassen'':
[0] = {0, ±5, ±10, ±15, ...}
[1] = {1, 6, 11, 16, 21, ..., -4, -9, -14, -19, ...}
[2] = {2, 7, 12, 17, 22, ..., -3, -8, -13, -18, ...}
[3] = {3, 8, 13, 18, 23, ..., -2, -7, -12, -17, ...}
[4] = {4, 9, 14, 19, 24, ..., -1, -6, -11, -16, ...}.

Aufgaben

1.) Sei A = {1,2,3}. Geben Sie alle Äquivalenzrelationen in A in aufzählender Form an.
2.) Sei A die Menge aller Geraden im Raum und R = {(x,y) Î A×A| x,y windschief oder x = y}. Ist R eine Äquivalenzrelation?
3.) Sei R = {(x,y) Î Z ×Z| es gibt n,m Î N, sodass x-y = 5n+7m}. Zeigen Sie: R ist transitiv.

Lösungen:
1.) R1 = {(1,1);(2,2);(3,3)}, R2 = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,1)},
     R3 = {(1,1);(2,2);(3,3); (1,3); (3,1)}, R4 = {(1,1);(2,2);(3,3); (2,3);(3,2)},
     R5 = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,1);(1,3);(3,1);(2,3);(3,2)}.
2.) Die angegebene Relation ist nicht transitiv. Es ist nämlich möglich, dass Geradenpaare (x,y) und (y,z) jeweils windschief, x und z voneinander verschieden und parallel sind.
3.) Gelte xRy und yRz; dann gibt es natürliche Zahlen n1, n2, m1, m2, sodass x-y = 5n1 + 7m1 und y-z = 5n2 + 7m2. Durch Addition der beiden Gleichungen und Ausklammern von 5 bzw. 7 folgt: x-z = 5(n1+n2) + 7(m1+m2).

4  Abbildungen

4.1  Begriffe

Definition: Seien A,B Mengen. Eine Relation f zwischen A und B (also f Ì A×B) heisst Abbildung von A nach (in) B, genau dann, wenn zu jedem a Î A ein und nur ein ("genau ein'') b Î B existiert, sodass (a,b) Î f .

Schreibweisen und Bezeichnungen:

f sei im folgenden stets eine Abbildung von A nach B, was man auch durch die Schreibweise f: A® B ausdrückt.
Ist (x,y) Î f, so nennt man y das Bild von x und schreibt:
    y = f(x) oder
    f: x® y oder (wenn man A und B noch explizit ins Spiel bringen will):
    f: A ' x® y Î B.
A heisst auch Definitionsbereich (Df) der Abbildung f.
Unter dem Wertebereich der Abbildung f versteht man die Menge aller Bildelemente, also Wf = {y Î B| es gibt ein x Î A mit y = f(x)}. Eine Abbildung A® B heißt Funktion, wenn sowohl A als auch B Zahlbereiche sind.

Darstellungsmöglichkeiten

  1. Aufzählende Mengenschreibweise. Sei A = {1,2} und B = {3,4}. Dann ist f = {(1,3);(2,3)} eine Abbildung von A nach B. Weitere Abbildungen wären: g = {(1,3);(2,4)}, h = {(1,4);(2,3)} und k = {(1,4);(2,4)}. Dagegen ist beispielsweise l = {(1,3);(1,4);(2,4)} keine Abbildung, da 1 als erste Komponente zweimal vorkommt.
  2. Pfeildiagramm: z.B. für die Abbildung f von (1):

  3. Das Pfeildiagramm einer Abbildung A® B zeichnet sich dadurch aus, dass von jedem Element von A genau ein Pfeil ausgeht.
  4. Wertetabelle: z.B. für die Abbildung f von (1):
  5. Funktionsvorschrift, Funktionsterm: Bei Funktionen können u.U. die Bildelemente mit Hilfe einer Funktionsvorschrift bzw. eines Funktionsterms angegeben werden. Beipiele:
  6. f: R ' x ® x2 Î R, Funktionsterm: x2
    g: N ' x ® ì
    í
    î
    -x, falls x gerade 
    2x, falls x ungerade 
    ü
    ý
    þ
    Î Z
  7. Funktionsgraph: Darstellung der Menge {(x,f(x))|x ÎDf} in einem Koordinatensystem.

Injektive Abbildungen:

Eine Abbildung f: A® heisst injektiv, wenn für alle a1 ¹ a2Î A gilt: f(a1) ¹ f(a2).
Beispiel:

Kennzeichen im Pfeildiagramm: Bei jedem b Î B endet höchstens ein Pfeil.

Surjektive Abbildungen:

Eine Abbildung f: A® B heisst surjektiv, wenn für alle b Î B gilt: Es existiert mindestens ein a Î A, sodass b = f(a) (jedes Element aus B ist ein Bildelement).
Beispiel:

Kennzeichen im Pfeildiagramm: Jedes Element der Zielmenge B wird von mindestens einem Pfeil getroffen.

Bijektive Abbildungen:

Eine Abbildung heisst bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist.
Beispiel:

Wichtige Eigenschaft: Eine Abbildung A® B ist genau dann bijektiv, wenn ihre Umkehrrelation eine Abbildung von B in A ist.

4.2  Gleichmächtigkeit von Mengen:

Definition: Zwei Mengen A und B heissen gleichmächtig (|A| = |B|), wenn es eine bijektive Abbildung A® B gibt.

Im Falle endlicher Mengen bedeutet die Gleichmächtigkeit von A und B ganz einfach, dass beide Mengen gleich viele Elemente besitzen. Interessant wird der Begriff der Gleichmächtigkeit vor allem bei unendlichen Mengen, da sich hier Situationen ergeben können, die auf den "ersten Blick'' paradox erscheinen.

Beispiel: N und V2 (Menge der geraden natürlichen Zahlen) sind gleichmächtig, obwohl V2 doch eine echte Teilmenge von N ist.
Begründung: Sei b: N® V2 eine Abbildung mit b(n) = 2n. Dann ist b injektiv, denn wenn n1¹ n2, dann ist auch 2n1¹ 2n2 und damit b(n1) ¹ b(n2). b ist surjektiv, denn jede gerade Zahl ist das Doppelte einer natürlichen Zahl (nämlich ihrer Hälfte). Also ist b bijektiv.
Offenbar kann es bei endlichen Mengen nicht passieren, dass eine echte Teilmenge gleichmächtig zu ihrer Obermenge ist. Daher ergibt sich folgende

Festlegung: Eine Menge A ist per definitionem von unendlicher Mächtigkeit (|A| = ¥), wenn es eine echte Teilmenge B von A gibt, sodass B zu A gleichmächtig ist.

Die Gleichmächtigkeit spielt eine besonders wichtige Rolle bei der Begriffsbildung der Kardinalzahlen. Diese soll hier noch kurz angesprochen werden:
Sei M eine (große) Menge (z.B. die Menge aller Gegenstände im Universum) und P(M) ihre Potenzmenge. Dann wird durch
R = {(A,B) Î P(M)×P(M)||A| = |B|} eine Äquivalenzrelation auf P(M) festgelegt. Jede der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation heisst "Kardinalzahl bzgl. des Mengensystems P(M)''.
Eine Kardinalzahl ist also eine Klasse von Mengen, zwischen denen eine "1 zu 1 - Zuordnung'' möglich ist. Der Begriff Kardinalzahl drückt damit die gemeinsame "Qualität'' von Mengen aus, zueinander gleichmächtig zu sein.
Die aufmerksame Leserin entdeckt hier sofort die Bezüge zwischen dem mathematischen Begriff der Kardinalzahl (der gegen Ende der 19.Jahrhunderts geprägt wurde) und den Theorien von Piaget (um 1950!) zum kindlichen Zahlerwerb. Soll man daraus etwa schließen, dass die Mathematiker verkappte Psychologen sind?


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On 15 Jul 1999, 12:19.