Der Stab, der um die Ecke muss,
und einhüllende Kurven

Ein Exteremalproblem

Das folgende nette Problem soll mit dem TI-89 algebraisch gelöst werden. Natürlich kann man die Rechnungen auch mit der Hand ausführen.

Die Situation ist im rechts dargestellt. Der Stab soll durch eine Ecke passen, in der sich zwei Gänge treffen. Die Frage ist, wie groß der längste Stab ist, der noch durch die Ecke passt.

Man kann das Problem dadurch lösen, dass man x+y minimiert. Den die Lösung dieser Minimierungsaufgabe ist die Konstellation, an der ein Stab am wenigsten Platz hat.

Also los! Aufgrund der Ähnlichkeit muss gelten

Zu minimieren ist x+y. Dies kann man als Minimierungsaufgabe mit Nebenbedingung auffassen. Einfacher ist aber - und es führt zum gleichen Ergebnis - , die Gleichung nach x aufzulösen.

Diese Funktion lassen wir den Taschenrechner zeichnen. Das kann natürlich auch ein beliebiger grafikfähiger Taschenrechner.

Der senkrechte Strich "|" leitet Bedingungen ein. Hier werden in der Formel die beiden Konstanten aus dem obigen Bild eingesetzt. Anhand der Zeichnung kann man das Minimum zu 11.9141 bestimmen.

Wir suchen aber das Minimum algebraisch durch Nullsetzen der Ableitung.

Es günstig, Nebenbedingungen zu setzen. Sonst findet der TI89 mehrere mit "oder" verknüpfte Lösungen.

Die Auflösung der Gleichung geschieht natürlich bei so einer einfachen Gleichung automatisch.

Nun wird die Lösung noch in die Gleichung eingesetzt. Dabei ist "ans(1)" die Gleichung "y=...", die wir gerade ermittelt haben, und c sind die obigen Bedingungen.

Der Rechner ermittelt automatisch eine Gleichung für das Minimum, die von a und b abhängt. Setzt man in diese Gleichung wieder a=3 und b=5 ein, so ergibt sich derselbe Wert 11.1941.

Einhüllende einer Geradenschar

Nun kann man auf den Gedanken kommen, die Stablänge auf 1 festzulegen, und Paare (a,b) zu finden, so dass ein Stab der Länge 1 gerade noch durch die Ecke passt.

Stellt man sich vor, dass ein Stab dieser Länge in einer Raumecke verschoben wird, wobei seine Enden immer die beiden Wände berühren, so erkennt man, dass die Kurve von minimalen Paaren (a,b) die Einhüllende dieser Schar von Stäben ist. Jeder einzelne Stab ist eine Tangente an diese Kurve. Im Bild rechts ist die Situation auf dem TI dargestellt.

Man kann zunächst mit einem Geometrieprogramm, wie es beim TI92 schon eingebaut ist, oder auf dem Rechner mit Z.u.L. die Situation nachkonstruieren. Z.u.L. kann solche einhüllenden Kurven sogar automatisch erzeugen.


Die Astroide als Hüllkurve

In der eingebauten Cabri-Geometrie des TI-92 geht das nicht ganz so gut, aber immerhin kann man die Spur deutlich erkennen, indem man "Trace" für den Stab einstellt.

Wir wollen aber eine Gleichung für die Kurve berechnen. Nach unseren Überlegungen ist die Kurve durch die Gleichung

gegeben. Dies entspricht folgender Funktion.

Damit kann man die Kurve auf dem TI-89 zeichnen lassen. Im Bild oben rechts sind automatisch Tangenten eingefügt worden. Die Kurve wird bisweilen Astroide genannt.

Man kann mit dem TI auch algebraisch nachprüfen, dass die Tangenten an die Funktion y1(x) tatsächlich die gewünschten Eigenschaften haben. Dazu stellt man die Tangentengleichung g(t) in x auf, und berechnet die Achsenabschnitte

indem man t=0 einsetzt, bzw. g(t)=0 nach t auflöst. Um die linke Formel zu erhalten, muss man comDenom() anwenden. Man sieht, dass der Abstand der Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen immer 1 beträgt.

Man könnte versuchen, einem intuitiven Ansatz zum Berechnen der Einhüllenden zu folgen. Dazu minimiert man bei gegeben x-Wert die Menge aller y-Werte unter der Menge der Geraden, deren Achsenabschnitte eine Abstand von 1 haben. Dies führt aber je nach Rechnung in unserem Beispiel auf eine nicht mit Schulmitteln auflösbare Gleichung dritten Grades. Bei vielen anderen Aufgaben funktioniert dieser Ansatz recht gut. Beispiele sind die Einhüllenden der Normalen auf die Einheitsparabel oder die Einhüllenden der Normalverteilungsdichten mit wechselnder Varianz. Ein anderes Beispiel wird weiter unten gegeben.

Ein anderer Ansatz

In der Schule vermutlich nicht zugänglich ist der Ansatz über partielle Ableitungen. Sind die Kurven, deren Einhüllende zu berechnen sind in der Form F(x,y,c)=0 gegeben, so kann man eine Gleichung für (x,y) durch Elimination von c aus

        (1)

ermitteln. In unserem Fall ist die Schar der Geraden, deren Achsenschnittpunkte den Abstand 1 haben, durch

gegeben. Folgt man dem Rezept, so kann man in der Tat sehr leicht x aus dieser Gleichung isolieren und in die partielle Ableitung nach c einsetzen. Durch Nullsetzen dieser Ableitung ergibt sich dann y=b^3. Setzt man den so erhaltenen Wert für b wiederum ein, so erhält man die Gleichung für die Einhüllende. Dies kann man sogar auf dem TI-89 algebraisch durchführen.

Der aufmerksame Leser wird bemerken, dass die Minimierungsstrategie, die wir oben vorgeschlagen haben, mit diesem allgemeinen Ansatz übereinstimmt, wenn man den x-Wert bei gegebenem y-Wert minimiert, oder die Tangentenschar anders herum parametrisiert.

Ein anderes Problem, Flugbahnen

Die Flugbahn eines mit Geschwindigkeit v im Winkel α abgeschossenen Projektils ist ohne Berücksichtigung der Luftreibung durch

gegeben. Normiert man geeignet, so kann man einfacher

schreiben. Setzt man t aus der ersten Gleichung in die zweite ein, so erhält man

Dies sind Parabeln, die vom Abschusswinkel α abhängen.

Man kann sich nun fragen, welche Punkte durch geeignete Wahl des Winkels erreichbar sind. Dazu berechnen wir die Einhüllende der Parabelschar als Maximum der möglichen y-Werte für eine festen x-Wert.

Der TI führt die Rechnung automatisch durch, wenn man die Ableitung nach α ausrechnet und gleich 0 setzt. Es ergibt sich als günstigster Winkel

Diesen Wert muss man nun in y(x) einsetzen. Man erhält auf dem TI die Einhüllende als Parabelgleichung

Die dazu nötige trigonometrische Unformung nimmt der TI89 automatisch vor.

Diese Parabel ist übrigens eindeutig dadurch gegeben, dass sie in 0 die maximale erreichbare Höhe bei einem senkrechten Schuss nach oben als Wert hat, sowie die Ableitung 0, und dass sie als x-Achsenabschnitt die maximale Schussweite hat.

Zur Kontrolle wird diese Einhüllende und eine Schar von Flugbahnen gezeichnet. Der TI erzeugt solche Scharen von Funktionen, indem man eine Liste für den Parameterwert α verwendet.


Parabel als Hüllkurve

Aufgaben

  1. Berechne die Kurvenlänge der Astroide.
  2. Berechne das Integral unter der Astroide.
  3. Wenn (x,y) auf dem Einheitskreis liegt, so liegt (x^3,y^3) auf der Astroide. Auf diese Weise ergibt sich eine Parameterdarstellung. Man berechne den Krümmungsradius.
  4. Berechne den Kreis um (0,a), der die Einheitsparabel (y=x^2) gerade berührt. Man kann den Kreis einfach mit Hilfe des minimalen Abstands von (0,a) zur Einheitsparabel berechnen.
  5. Berechne den Krümmungsradius der Parabel. In 0 ist der Radius dann 1/2.
  6. Für a>1/2 ist dann die Einheitsparabel Einhüllende der Kreise aus 1., wie man mit der Bedingung (1) nachrechnen kann.
  7. Berechne die obere Einhüllende von Kreisen mit Radius 1, deren Mittelpunkte (t,t^2) auf der Parabel liegen. Mit (1) erhält man eine Parameterdarstellung (x(t),y(t)) der Einhüllenden nach t.
Dr. R. Grothmann