Das Seil um die Welt

Inhalt

Die Probleme
Problem 1
Variation zu Problem 1
Problem 2
Numerische Lösungen
Variation zu Problem 2
Links

Die Probleme

Das Problem wurde mir durch einen schönen Vortrag von Prof. Schwier aus Dresden über Paradoxien im Didaktikkolloquium unserer Universität ins Gedächtnis gerufen. Es ist ziemlich bekannt. Es werde ein Seil um eine Kugel, sagen wir die Erdkugel, gespannt, das einen Meter länger ist als der Umfang dieser Kugel. Nun kann man zwei Fälle unterscheiden.

  1. Das Seil wird überall in gleichem Abstand zur Kugeloberfläche gehalten.
  2. Das Seil wird an einer Stelle so hoch wie möglich gespannt.

Die Probleme sind zwar interessant, aber nicht neu. Hier geht es lediglich darum, die überraschenden Lösungen ins Gedächtnis zu rufen, und die numerischen Schwierigkeiten aufzuzeigen, die bei der Lösung auftreten.

Außerdem werden wir nette Variationen des Problems behandeln. Zum einen kann man sich fragen, wie sich die Sachlage bei einer relativen Änderung der Seillänge um 1% verhält, möglicherweise in Abhängigkeit. Zum anderen kann man das gleiche Problem mit der Oberfläche diskutieren.

Problem 1

Das 1. Problem ist recht einfach, weil der Kreisumfang linear vom Radius abhängt.

u = 2π r

Es ergibt sich daher

dr = du/(2π) ~ 16 cm

Dabei ist r der Radius der Erdkugel, dr seine Änderung, u der Umfang der Erdkugel und du dessen Änderung. In unserem Problem war du=1m.

Relative Änderung

Was ist, wenn der Umfang um einen bestimmten Bruchteil wachsen soll, sagen wir um 1%? Dann ist

du = p u 

mit p=0.01 (mit dem beispielhaften Wachstum von 1%). Setzt man die Formel für den Umfang ein und verwendet du, so erhält man

dr = p r

Also wächst auch der Radius um 1%.

Variation zu Problem 1

Interessanter wird das 1. Problem, wenn man fragt, um wie viel der Radius wachsen muss, damit die Oberfläche um einen Quadratmeter zunimmt. Man hat

O = 4π r2

Im folgenden wird als Annäherung für den Erdradius

r=40008000/(2π)

verwendet. Durch Ableiten und Einsetzen von Differenzenquotienten anstelle des Differentialquotienten, erhält man

dr ~ dO / (8πr) ~ 6*10^(-9) m = 0.006 μm

Diese Näherung ist für unsere Zwecke genau genug. Das Ergebnis im Nanometer-Bereich zeigt, dass unsere Anschauung hier nicht adäquat arbeitet.

Es ist übrigens unmöglich, dieses Ergebnis mit dem Taschenrechner direkt mit der Formel für die Oberfläche nachzuprüfen. Man muss sich schon der Mühe unterziehen, die Oberflächen algebraisch voneinander abzuziehen, um eine Formel für die Differenz zu erhalten und diese auszuwerten.

Diese Einsicht allein ist didaktisch wertvoll, da sie die Überlegenheit von algebraischem Rechnen über bloßes Anwenden des Taschenrechners aufzeigt.

Selbst dann treten noch Schwierigkeiten auf. Die entstehende quadratische Formel ist nämlich

4π (2r dr + dr2) = 1

Die Lösungen dieser Gleichung sind

-r ± sqrt (r2 + 1/(4π))

Jeder Taschenrechner evaluiert diese Nullstellen zu 0 und

z = -12734941.926441

Die erste Nullstelle wird also unbrauchbar ausgerechnet, und die zweite ist nicht die gesuchte!

Man kann sich hier behelfen. Erinnert man sich, dass das Produkt der beiden Nullstellen der konstante Koeffizient durch den höchsten Koeffizienten ist, so kann man aus der unbrauchbaren Nullstelle z eine brauchbare machen.

dr = -1 / (4πz) ~ 6.24875 * 10-9

Selbst wenn der Taschenrechner am Ende ist, muss es der Mathematiker noch lange nicht sein.

Relative Änderung

Auch hier ist es interessant, den Zuwachs in Bruchteilen zu berechen. Sei also wieder

dO = pO

beispielsweise mit p=0.01, entsprechend 1%. Dabei steht O für die Oberfläche und dO für deren Änderung. Unsere Approximation ergibt

dr ~ dO / (8πr) = p O / (8πr) = p (4πr^2) / (8πr) = p/2 r

Also muss der Radius in unserem Beispiel um 0.5% wachsen. Rechnet man genauer, so hat man, wenn der Radius um den Faktor q zunimmt (zum Beispiel q=0.005, also 0.5%)

dO = (2q+q2) O ~ 2q O

Die Oberfläche wird um etwa 1% zunehmen.

Problem 2

Die Lösung dieses Problem (nämlich immerhin 121 m) ist überraschend.

Auch hier versagt wieder die Anschauung.

Lösungsmethode I

Die Konstruktion rechts, die mit dem Programm Z.u.L. erstellt wurde, zeigt die Sachlage. Es ergibt sich die folgende Gleichung.

sqrt(2xr+x2) = acos(r/(r+x)) r + d/2

Dabei ist x der Zuwachs des Radius und d der Zuwachs der Seillänge, in unserem Beispielproblem also d=1m. Der berechnete Arcuscosinus ergibt den Winkel α, so dass αr+d/2 gleich der grünen Tangenten im Bild sein muss. Deren Länge wird aber mit dem Satz von Pythagoras auf der linken Seite der Gleichung berechnet.

Die erste Lösungsmethode dieser Gleichung besteht nun darin zu versuchen, die Formel direkt auf neueren Taschenrechnern mit den dort vorhandenen numerischen Gleichungslösern nach x aufzulösen. Dabei tritt ein Problem auf. Wir geben weiter unten die numerischen Ergebnisse wieder.

Lösungsmethode II

Die zweistufige Alternativmethode besteht darin, die Gleichung

(tan(α)-α)*r = d/2

numerisch zu lösen. Denn diese Gleichung gibt die Differenz zwischen dem Kreisbogen zum Winkel α und Radius r und der Tangenten wieder. Nun kann man x mit

x = (1/cos(α)-1)*r

berechnen. Denn r/cos(α) ist gleich der Hypothenuse x+r. Dieses Verfahren erweist sich als stabiler.

Numerische Ergebnisse

Es folgen die numerischen Lösungen, wie sie mit diversen Taschenrechnern (oder deren PC-Simulatoren) und zwei PC-Programmen (Euler und Maple) berechnet wurden.

Mit den eingebauten Gleichungslösern treten erhebliche Schwierigkeiten auf.

Die folgende Tabelle zeigt jeweils nur die korrekt berechneten Ziffern an.

Rechner

Methode I

Methode II

Euler

121.4382

121.43829271

TI-83 Solver

121.438

121.438292

TI-89 Solver

121.43

121.438292
HP 49G Keine Lösung 121.438
Casio 9850GX+ Keine Lösung 121.438292
Casio, Bisektion 121.438 121.438292
Maple V 121.43829271201 121.43829271201

In dem numerischen Programm Euler wurde dieselbe Nullstelle sowohl mit dem Bisektions-Verfahren, als auch mit dem Sekanten-Verfahren gefunden.

Außerdem kann x mit der Gleichung aus Methode II in Euler durch ein Intervall-Newton-Verfahren eingegrenzt werden, wobei es sich um eine bewiesene Eingrenzung handelt. Es ergibt sich hierbei das Intervall

~121.438292709,121.438292715~

Die dazu verwendeten Rechnungen in diesem Euler-Notebook festgehalten.

Das Ergebnis von Maple wurde mit steigender Genauigkeit bis zu 50 Stellen ausgerechnet.

Erklärung der numerischen Phänomene

Woran liegen die Probleme der Programme? Offenbar verwenden manche Taschenrechner instabile Nullstellensucher. Stabil ist hier zum Beispiel das Bisektions-Verfahren, dass immer zumindest einen Vorzeichenwechsel findet. Instabil ist das Newtonverfahren und Varianten davon.

Lediglich der TI erlaubt die Eingabe eines Intervalls, in dem die Lösung liegen muss. Die anderen Rechner verlassen sich auf Näherungswerte. Der HP findet falsche Lösungen. Allerdings gibt er die Information aus, dass es sich weder um einen Vorzeichenwechsel, noch um eine Nullstelle handelt.

Das obige Bild der Funktion

sqrt(2*x*r+x*x)-acos(r/(r+x))*r-0.5

wurde mit Euler gezeichnet. Es handelt sich um eine Detailvergrößerung im Intervall [121.4382,121.4383]. Wie man sieht, tritt bei der Berechnung der ersten Differenz eine erhebliche Auslöschung auf. Das bedeutet, dass die beiden Größen etwa gleich sind, und die Differenz daher nur mit wenigen richtigen Stellen berechnet wird.

Dasselbe Phänomen lässt sich auch mit den Taschenrechnern reproduzieren. Allerdings tritt es hier schon vorher auf, da die Taschenrechner mit geringerer Genauigkeit rechnen. Auf dem TI-83 sieht die Grafik wie in  Euler aus, allerdings schon im Intervall [121.43,121.44], was seltsam ist, da der Rechner nominell mit 15 Stellen rechnet.

Hier ist derselbe Effekt auf dem HP49G-Emulator.

Aufgrund der etwas geringeren Genauigkeit von 12 Stellen tritt das Phänomen hier schon so deutlich im Intervall [121.43,121.44] auf. Kein Wunder, dass der Rechner die Angabe einer Nullstelle verweigert!

Der Effekt sieht im Solver des TI89 so aus.

Dieser Solver produziert keine so gute Lösung, was angesichts des Grafen nicht überraschend ist. Mit der indirekten Methode II wird die Lösung aber erheblich besser.

Die numerische Lösung muss mit Vorsicht betrachtet werden!

Asymptotische Rechnung

Es ist allerdings die Frage, ob es überhaupt geschickt ist, die Gleichung numerisch nach α aufzulösen. Man erhält nämlich mit zwei Gliedern der Taylorreihe

tan(α) ~ α + α^3/3

die für kleine Winkel sehr gute Approximation

α = (3d/(2r))^(1/3)

für die Lösung unserer Gleichung aus Methode II. Im weiteren Verlauf der Rechung setzt man

cos(α) ~ 1 - α2/2

woraus man für den speziellen Wert d=1 den Wert

x ~ 0.655185 r^(1/3) ~ 121.438

erhält, was tatsächlich recht genau ist. Zudem erhält erkennt man daraus, wie sich α und x asymptotisch mit dem Radius verhalten.

Auch hier erweist sich eine simple Approximation als überlegen.

Vergleich mit einer ebenen Erdoberfläche

Man kann zum Vergleich einmal die einfachere Rechnung durchführen, die sich in einer Ebene ergibt. Nimmt man an, dass in der Ebene die Endpunkte des Seiles eine Strecke von 2u entfernt sind, und hebt das Seil, das 2d Meter länger ist, in der Mitte auf, so erhält man für die Höhe h, um die man das Seil aufheben kann die Gleichung

h2 = (u+d)2-u2 ~ 2ud

Das Seil liegt bei unserem Problem ab einer Entfernung von 39 km straff an der Erdoberfläche an, wie man mit der Lösungsmethode II (siehe weiter unten) berechnet. Man sollte also diesen Wert für u einsetzen. Tut man das, so erhält man die nächste Überraschung. Es ergibt sich

h ~ 198 m

Das ist doch erheblich höher als die 121m auf der Erdkugel. Die Ursache liegt in der Erdwölbung, die im Verlauf der 39 km auftritt. Die Erde ist selbst auf diese Entfernung keine Scheibe!

Relative Änderung

Auch hier kann fragen, was passiert, wenn sich die Länge des Seils um einen Bruchteil p, zum Beispiel um 1%, erhöht. Um welchen Bruchteil des Radius kann man dann das Seil anheben?

Die Lösung hängt wieder nicht vom Radius ab. Es ergibt sich in erster Näherung

x = 1/2 (3πp)2/3 r

Im Beispiel (1% Seilzunahme) kann man das Seil erstaunlicherweise um mehr als 10% des Radius anheben.

Variation zu Problem 2

Man kann versuchen, die Oberfläche der Erde dadurch um einen Quadratmeter zu erhöhen, dass man sie einem Punkt nach außen zieht. Dies ist nun schon allein von den Flächenformeln her schwieriger.

Die Situation entspricht dem Bild oben, das um den Nordpol gedreht wird. Zu vergleichen ist hier die Mantelfläche eines Kegels mit der Haube eines Kugelsegments. Die Formel für die Fläche der Haube lautet

H = 2πkr

wobei

k = (1-cos(α)) r

die Höhe der Haube ist. Die Formel für die Mantelfläche ergibt sich aus dem Radius des Grundkreises und der Seitenlänge des Kegels. Also

(2π sin(α) r) (tan(α) r) / 2 - (1-cos(α)) 2π r2 = D

Dabei ist D die Zunahme der Oberfläche. Umgeformt

1/cos(α) + cos(α) = 2 + D/(πr2)

Man braucht nicht versuchen, diese Gleichung direkt numerisch aufzulösen, weil der Taschenrechner die rechte Seite zu 2 evaluiert. Der nahe liegende Ansatz, eine quadratische Gleichung für cos(α) zu lösen, führt nur auf die Lösung α=0.

Aber auch hier kann sich der geschickte Mathematiker behelfen. Setzt man nämlich

cos(α) = 1+d

in die obige Gleichung ein, so erhält man nach Umformung

d^2 / (1+d) = D/(πr2)

woraus sich eine quadratische Gleichung machen lässt, die gerade noch numerisch stabil genug ist, so dass man daraus mit D=1qm

α ~  0.000421

berechnen kann. Daraus ergibt sich die Höhe

x=(1/cos(α)-1)*r ~ 0.56419 m ~ 56 cm

Zur Näherung kann man einfach

cos(α) = 1 - α2/2

zu setzen. Man erhält

α ~ (4D/(πr2))1/4 ~ 0.000421

Das hochgehobene kreisförmige Stück hat übrigens in unserem Beispiel einen Radius von 2.68 km. Dieses Resultat entspricht nun schon eher unserer Anschauung, wenn auch die tatsächlichen Dimensionen nicht zu schätzen sind.

Relative Änderung

Um welchen Anteil des Radius kann man die Oberfläche anheben, wenn diese um den Faktor p zunimmt, also zum Beispiel um 1% (p=0.01). Mit der gleichen Rechnung wie oben erhält man

1/cos(α) + cos(α) = 2 + 4p

Für p=0.01 folgt α = 0.611126. Man kann damit in der Tat in unserem Beispiel eine Höhe von 22% des Radius erreichen! Das Ergebnis hängt nicht vom Radius ab.

Aufgaben

  1. Rechnen Sie die Formeln nach! Glauben Sie nicht alles, was Sie lesen!
  2. Angenommen ein Drahtseil um die Welt kühlt um 1 Grad ab. Um wie viel schneidet sich das Seil in den Erdboden ein (Temperaturausdehnung 0.000011 pro Grad)?
  3. Wenn man das Seil an 2,3,4,... Stellen gleich hoch zieht, wie hoch kann man es dann in Abhängigkeit von der Anzahl der Stellen n ziehen?
  4. An wie vielen Stellen kann man das Seil hochziehen, so dass es zwischen je zwei Stellen noch die Erdkugel berührt?

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